Question

9．在区间[0，2π]上任取一个实数α，则该数是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设f（α）=$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$，当α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（α）=3；当α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，f（α）=-1；当α∈（$π，\frac{3π}{2}$）时，f（α）=-1；当α∈（π，2π）时，f（α）=-1．由此能求出该数是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率．

解答 解：∵在区间[0，2π]上任取一个实数α，
设f（α）=$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$，
∴当α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（α）=1+1+1=3；
当α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，f（α）=1-1-1=-1；
当α∈（$π，\frac{3π}{2}$）时，f（α）=-1-1+1=-1；
当α∈（π，2π）时，f（α）=-1+1-1=-1．
∴该数是方程$\frac{sinα}{|sinα|}$+$\frac{cosα}{|cosα|}$+$\frac{tanα}{|tanα|}$=-1的解的概率p=$\frac{2π-\frac{π}{2}}{2π-0}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质、几何概型的合理运用．