题目内容
3．设{an}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{an}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{an}是“封闭等比数列”；
（2）a1=$\frac{1}{2}$，q=2，则{an}是“封闭等比数列”；
（3）若{an}，{bn}都是“封闭等比数列”，则{an•bn}，{an+bn}也都是“封闭等比数列”；
（4）不存在{an}，使{an}和{an2}都是“封闭等比数列”；
以上正确的命题的个数是（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
分析 （1）求出${a_n}=3•{2^{n-1}}$，由a1•a2∉{an}，知（1）错误；（2）由${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$，推导出命题（2）正确；（3）${a_n}+{b_n}=3•{2^{n-1}}$不是“封闭等比数列”；（4）若${a_n}={2^n}$为“封闭等比数列”，则$a_n^2={4^n}$为“封闭等比数列”．
解答 解：（1）∵{an}是a1=3，q=2的等比数列，
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}$，
由题意得a1•a2=3×6=18∉{an}，故命题（1）错误；
（2）∵${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$，
∴${a_m}•{a_n}={2^{m-2}}•{2^{n-2}}={2^{m+n-4}}={2^{（{m+n-2}）-2}}={a_{m+n-2}}，m+n-2∈{N^*}$，故命题（2）正确；
（3）若${a_n}={2^{n-1}}，{b_n}={2^n}$都为“封闭等比数列”，
则${a_n}+{b_n}=3•{2^{n-1}}$不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；
（4）若${a_n}={2^n}$为“封闭等比数列”，则$a_n^2={4^n}$为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．
故选：B．
点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、封闭等比数列的性质的合理运用．
练习册系列答案
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13．复数$\frac{1}{i-2}$-$\frac{i}{1+2i}$在复平面内所对应的点位于（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |