Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过圆Q：x²+y²-4x+6y=0的圆心，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得圆心，代入双曲线的渐近线方程，求得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，由离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得双曲线C的离心率．

解答 解：由x²+y²-4x+6y=0得圆Q的标准方程为（x-2）²+（y+3）²=13，圆心为（2，-3），半径为$\sqrt{13}$，
由双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，则$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
双曲线C的离心率$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查圆的标准方程，属于基础题．