Question

14．已知函数f（x）=x²+（m-1）x+1
（1）当m＞0且f（x）的最小值为-3时，求m的值，并写出此时f（x）的单调区间
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）表示出f（x）的最小值，得到关于m的方程，解出m的值，求出函数的单调区间即可；
（2）当m=0时，经检验不满足条件．当f（x）在[0，2]上有一个零点时，求出m的值．当f（x）在[0，2]上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集即得所求．

解答 解：（1）f（x）的最小值是$\frac{4{-（m-1）}^{2}}{4}$=-3，解得：m=5；
故f（x）=x²+4x+1，对称轴是x=-2，
故f（x）在（-∞，-2）递减，在（-2，+∞）递增；
（2）当m=0时，函数f（x）=x²-x+1，在区间[0，2]上没有零点，不满足条件，故舍去．
当f（x）在[0，2]上有一个零点时，此时①$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-1）}^{2}-4=0}\\{0≤-\frac{m-1}{2}≤2}\end{array}\right.$，或 ②$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-1）}^{2}-4＞0}\\{f（0）•f（2）＜0}\end{array}\right.$成立，
解①得 m=-1，解②得 m＜-$\frac{3}{2}$，
当f（x）在[0，2]上有两个零点时，此时 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-1）}^{2}-4＞0}\\{0≤-\frac{m-1}{2}≤2}\\{f（0）≥0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{2}$≤m＜-1，
综上可得，实数m的取值范围[-∞，-1]．

点评 本题考查二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．