Question

【题目】(本小题满分分)已知圆有以下性质：

①过圆上一点的圆的切线方程是.

②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为.

③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段.

(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；

(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；

(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

(3)见解析.

【解析】分析：（1）根据类比推理可得结论．（2）设，结合（1）可得过点的切线方程，根据两切线都过点可得和，再结合过两点的直线唯一的特点可得直线的方程是．（3）先由直线的方程可得，又，所以．令线段的中点为，由点差法得，于是，故，所以三点共线，从而得到平分线段．

详解：（1）过椭圆上一点的切线方程是．

（2）设．

由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，

∵直线过点，

∴，

同理．

又过两点A,B的直线是唯一的，

∴直线的方程是．

（3）由（2）知过两点的直线方程是，

∴，

又，

∴为定值．

设线段的中点为，则．

∵点均在椭圆上，

∴①，②

②－①得，

即，

∴，

又

∴，

又，

∴，

∴三点共线，

∴平分线段．