Question

【题目】如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且.

（1）求证：；

（2）若，，直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：

（1）过作交于，连接，由面面垂直的性质可得平面，则.则，，为等腰直角三角形，据此可得平面，.

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得平面的法向量为，平面的法向量为，则锐二面角的余弦值为 .

试题解析：

（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.

∴，，，

∴，∴，

由已知得为等腰直角三角形，因此，又，

∴平面，∴.

（2）∵，平面，平面，∴平面，

∵平面平面，∴，

由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得，进而可得，，，，，，

设平面的法向量为，则，即，

可取，

设平面的法向量为，则，即，

可取，

则 ，

∴二面角的余弦值为.