Question

3．在平面直角系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标为ρ=2cosθ，且直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于不同两点A，B．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设点M（m，0），若|MA|•|MB|=1，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的普通方程为：$y=\frac{4}{3}（x-m）$，曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=2x，圆心（1，0）．由题意知圆心到直线l的距离d＜1，由此能求出实数m的取值范围．
（2）直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C：x²+y²=2x，得25t²+（6m-6）t+m²-2m=0，由|MA|•|MB|=1，能求出实数m的值．

解答 解：（1）∵直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为：$y=\frac{4}{3}（x-m）$，
∵曲线C的极坐标为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=2x，圆心（1，0），半径r=1，
由题意知圆心到直线l的距离$d=\frac{{|{\frac{4}{3}（1-m）}|}}{{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}}＜1$，
解得$m∈（{-\frac{1}{4}，\;\;\frac{9}{4}}）$．
（2）直线$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C：x²+y²=2x，
得25t²+（6m-6）t+m²-2m=0，
设方程的两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{6-6m}{25}$，t₁t₂=$\frac{{m}^{2}-2m}{25}$，
∵|MA|•|MB|=1，∴|m²-2m|=1，
解得m=1或$1+\sqrt{2}$（舍）或$1-\sqrt{2}$（舍）．
综上，实数m的值为1．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查两线段的乘积的求法应用，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．