Question

11．双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为边作正△MF₁F₂，若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线的对称性可推断出三角形的顶点在y轴，根据正三角形的性质求得顶点的坐标，进而求得正三角形的边与双曲线的交点，代入双曲线方程与b²=c²-a²联立整理求得e．

解答 解：双曲线恰好平分正三角形的另两边，
顶点就在Y轴上坐标是（0，$\sqrt{3}$c）或（0，-$\sqrt{3}$c）
那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点（$\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
在双曲线上代入方程$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1
联立b²=c²-a²求得e⁴-8e²+4=0
求得e=$\sqrt{3}$+1 
故选：B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的综合把握．