Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2，E、F分别是AB、AP的中点．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）求二面角F-OE-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用EF与AO的方向向量的数量积等于0，即可证明垂直；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．
解答：（1）证明：由ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，可知：△OAB是等腰直角三角形，
∵AB=2CD=2，E是AB的中点，∴OE=EA=EB=，可得OA=OB=2．
∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB．又OA⊥OB．
∴可以建立如图所示的空间直角坐标系．
则O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，0），F（1，0，1）．
∴，．
∴，∴EF⊥AO，即EF⊥AC．
（2）解：由（1）可知：，．
设平面OEF的法向量为，
则，得，令x=1，则y=z=-1．
∴．
∵PO⊥平面OAE，∴可取作为平面OAE的法向量．
∴===．
由图可知：二面角F-OE-A的平面角是锐角θ．
因此，．
点评：通过建立空间直角坐标系，利用EF与AO的方向向量的数量积等于0证明垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的方法必须熟练掌握．