Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求证：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值为

10

5

，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得PO⊥BC，结合侧面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD；
（2）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，设OP=t，分别求出直线PA与BD的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到PA⊥BD
（3）分别求出平面DPA与平面PAO的法向量，根据二面角D-PA-O的余弦值为

10

5

，代入向量夹角公式，构造关于t的方程，解方法即可得到PB的长．

解答：解：（1）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，
所以PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（4分）
（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz，
设OP=t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（-1，1，0），

PA

=（1，2，-t），

BD

=（-2，1，0），
因为

PA

•

BD

=0，所以

PA

⊥

BD

，
即PA⊥BD．…（8分）
（3）设平面PAD和平面PAO的法向量分别为

m

=（a，b，c），

n

=（x，y，z），
注意到

PD

=（-1，1，-t），

OA

=（1，2，0），

OP

=（0，0，t），
由

m • PD =-a+b-tc=0 m • PA =a+2b-tc=0

，令a=1得，

m

=（1，-2，-

3

t

），
由

n • OA =x+2y=0 n • OP =tz=0

令y=-1得，

n

=（2，-1，0），
所以cos60°=

m • n

| m |•| n |

=

4

5+ 9 t2 - 5

=

10

5

，
解之得t=

3

，所以PB=

OP2+OB2

=2为所求．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2），（3）的关键是建立空间坐标系，将空间中直线与平面之间的关系及夹角转化为向量的夹角．