Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的性质，可得线线垂直，再利用线面垂直的判定，即可证明BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，

则AD=4，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，4，0），P（0，0，4）
∴

AC

=（2，1，0），

PC

=（2，1，-4），

PD

=（0，4，-4）
令平面PCD的法向量为

n

=（x，y，z），则
由

n • PC =0 n • PD =0

，可得

2x+y-4z=0 4y-4z=0

令z=1，可得

n

=（

3

2

，1，1），
∴直线AC与平面PCD所成角的正弦值为|cos＜

AC

，

n

＞|=

AC • n

| AC || n |

=

8

85

85

．

点评：本题考查线面垂直的性质与判定，考查线面角，考查学生分析夹角问题的能力，属于中档题．