Question

【题目】在如图的空间几何体中，四边形为直角梯形，，，，且平面平面，为棱中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点为，连接和，先证明四边形为平行四边形，可得.由题意得，则，即得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，用向量的方法求解.

（1）证明：取中点为，连接和，如图所示

因为，且，

又因为，且，

故，且，

即四边形为平行四边形，故，

，为中点，；

又，.

（2）平面平面，平面平面，

平面，

又平面，.

由（1）知，平面，

平面，而平面，，

，.

取中点连接和，四边形为直角梯形，则，

平面，

平面，又平面，平面，故，

，

分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立直角坐标系，如图所示

，

则，，，，

故，，，

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则

，即，令，

.

设二面角的为，则

，

.

二面角的正弦值为.