Question

【题目】已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．

（1）求实数k的取值范围；

（2）证明：f(x)的极大值不小于1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；

（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.

（1），由，

记，，

由，且时，，单调递减，，

时，，单调递增，，

由题意，方程有两个不同解，所以；

（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，

所以的极大值为，

记，则，

因为，所以，

所以时，，单调递减，时，，单调递增，

所以，即函数的极大值不小于1.

解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，

所以的极大值为，

因为，，所以.

即函数的极大值不小于1.