Question

（14分）设函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若对任意及，恒有成立，求的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）的极小值为，无极大值 .
（Ⅱ）当时，的递减区间为；递增区间为.
当时，在单调递减.
当时，的递减区间为；递增区间为.
（Ⅲ） .

试题分析：（1）将a=0代入函数解析式中可知，函数的导数，然后运用导数的符号与单调性的关系求解单调区间，并得到极值。
（2）当a>0时，利用导函数，对于参数a，进而分类讨论研究其单调性，看开口和判别式得到。
(3)要证明不等式恒成立，只要利用第二问的结论根据最大值和最小值得到求解。
解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.
当时， ，.
令，解得.
当时，；当时， .
又，
所以的极小值为，无极大值 . …………………………（4分）
（Ⅱ）

当时，，
令，得或，
令，得；
当时，得，
令，得或，
令，得；
当时，.
综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.
当时，在单调递减.
当时，的递减区间为；递增区间为.
…………………………………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.
当时，取最大值；当时，取最小值.
所以
.………………（11分）
因为恒成立，
所以，
整理得.
又 所以，
又因为 ，得，
所以
所以 . ……………………………………………………………（14分）
点评：解决该试题的关键是对于含有参数的导数的符号的确定，需要分类讨论思想来得到。