Question

14．已知向量$\overrightarrow a=（{1，x}），\overrightarrow b=（{1，x-1}）$，若$（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$，则$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可先求出向量$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$的坐标，根据条件得到$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，从而可求出x=1，进而求出向量$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$的坐标，从而求得该向量的长度．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=（-1，2-x）$，且$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=-1+x（2-x）$=-x²+2x-1=0；
∴x=1；
∴$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=（-1，1）$；
∴$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 考查向量坐标的概念，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数乘运算．