Question

12．已知a，b∈R，且|a|≠|b|，求证：$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+{b}^{2}}}$＜|a-b|．

Answer 1

分析 证明：$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+{b}^{2}}}$＜|a-b|，即证明|a+b|＜$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+{b}^{2}}$．利用三角不等式即可证明．

解答 证明：∵a，b∈R，且|a|≠|b|，
∴证明：$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+{b}^{2}}}$＜|a-b|，即证明|a+b|＜$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+{b}^{2}}$．
∵|a+b|＜|a|+|b|＜$\sqrt{1+{a}^{2}}$+$\sqrt{1+{b}^{2}}$，
∴$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+{b}^{2}}}$＜|a-b|．

点评 本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．