Question

1．己知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足4S_n=（a_n+1）²．
（I）求出a₁，a₂的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （I）通过在4S_n=（a_n+1）²中令n=1可知首项a₁=1，当n≥2时利用S_n与a_n的关系，作差可知a_n-a_n-1=2，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）放缩、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），进而并项相加即得结论．

解答 （I）解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴令n=1可知，4a₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁+1，
∴${{a}_{1}}^{2}$-2a₁+1=0，即a₁=1，
当n≥2时，4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
整理得，（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
又∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，a₂=1+2=3，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）证明：由（I）可知S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²=n²，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．