Question

2．已知边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE、CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则$\overrightarrow{GF}$•$\overrightarrow{CE}$=（　　）

• A． -6
• B． -9
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 根据条件及向量数乘的几何意义便可得出$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，进而可得出$\overrightarrow{GF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$，同样$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$，这样就用$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{DE}$表示出了$\overrightarrow{GF}，\overrightarrow{CE}$，并且$＜\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{DE}＞=60°$，带入$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{CE}$进行向量数量积的运算便可求出$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{CE}$的值．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{GB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}$=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$；
又$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$，且∠CDE=120°；
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{CE}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}）•（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}）$
=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{CD}}^{2}+\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{DE}+{\overrightarrow{DE}}^{2}$
=$2+\frac{3}{2}•2•2•\frac{1}{2}+4$
=9．
故选D．

点评 考查正六边形的定义，正六边形的内角，向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算．