Question

7．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P（X2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

Answer 1

分析 （1）根据分层抽样，求得样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，由频率分布直方图日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，随机抽取2人，求得所有可能的结果，根据古典概型公式求得至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K²≈1.786＜2.706，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

解答 解：（1）由已知得：样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有60×0.05=3人，分别记为：A₁，A₂，A₃，
25周岁以下组有工人40×0.05=2人，分别记为B₁，B₂，
从中随机抽取2人，所有可能的结果共10种，他们分别是（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₂），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
其中“至少有1名”，25周岁以下组的结果有7种，
故所求概率为P=$\frac{7}{10}$；
（2）由频率分别直方图可知：在抽取的100名工人中，
“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15人，
“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15人，
据此可得2×2列联表：

	生产能手	非生产能手	合计
25周岁以上组	15	45	60
25周岁以下组	15	25	40
合计	30	70	100

所以K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（15×25-45×15）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.786＜2.706．
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

点评 本题考查根据频率分布直方图的应用，考查独立性检验的概率情况，以及随机分布的概率的计算，考查运算能力，属于中档题．