Question

13．已知直线$l：x=\frac{a^2}{c}$是椭圆$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0，c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}}）$的右准线，若椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），问y_M•y_N是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，即可求得a和b的值，求得椭圆Γ的方程；
（2）设AB的方程：x=my+1，代入椭圆方程由韦达定理求得直线PA的方程，代入即可求得y_M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$（2+$\sqrt{2}$），y_N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$（2+$\sqrt{2}$），y_M•y_N=$\frac{（2+\sqrt{2}）^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+\sqrt{2}）（{x}_{2}+\sqrt{2}）}$=$\frac{（2+\sqrt{2}）^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+1+\sqrt{2}）（m{y}_{2}+1+\sqrt{2}）}$，代入即可求得y_M•y_N=-1．

解答 解：（1）依题意：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，则a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
故椭圆Γ方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；     …（4分）
（2）设AB的方程：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+2）y²+2my-1=0，
△=（-2m）²+4（m²+2）＞0，
由韦达定理得：y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，…（6分）
直线PA：y=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
令x=2，得y_M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$（2+$\sqrt{2}$），
同理：y_N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$（2+$\sqrt{2}$），…（8分）
∴y_M•y_N=$\frac{（2+\sqrt{2}）^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+\sqrt{2}）（{x}_{2}+\sqrt{2}）}$=$\frac{（2+\sqrt{2}）^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+1+\sqrt{2}）（m{y}_{2}+1+\sqrt{2}）}$，
=$\frac{（2+\sqrt{2}）^{2}{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+（1+\sqrt{2}）m（{y}_{1}+{y}_{2}）+（1+\sqrt{2}）^{2}}$，
=$\frac{（2+\sqrt{2}）^{2}（-\frac{1}{{m}^{2}+2}）}{{m}^{2}（-\frac{1}{{m}^{2}+2}）+（1+\sqrt{2}）m（-\frac{2m}{{m}^{2}+2}）+（1+\sqrt{2}）^{2}}$，
=$\frac{-（2+\sqrt{2}）^{2}}{-{m}^{2}-2（1+\sqrt{2}）{m}^{2}+（1+\sqrt{2}）^{2}（{m}^{2}+2）}$，
=$\frac{-（6+4\sqrt{2}）}{2（1+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{-（6+4\sqrt{2}）}{6+4\sqrt{2}}$=-1，
y_M•y_N=-1，
y_M•y_N是定值，定值为-1．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．