Question

2．${（{2-\sqrt{x}}）^n}$的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中x⁴项的系数为1．

Answer 1

分析 由题意可得：2ⁿ=256，解得n=8．再利用通项公式即可得出．

解答 解：由题意可得：2ⁿ=256，解得n=8．
∴$（2-\sqrt{x}）^{8}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$2^8-r$•（-\sqrt{x}）^{r}$=2^8-r（-1）^8-r${∁}_{8}^{r}$${x}^{\frac{r}{2}}$．
令$\frac{r}{2}$=4，解得r=8．
∴展开式中x⁴项的系数为2^8-8（-1）⁰${C}_{8}^{8}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二项式定理的应用及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．