Question

12．某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有10人．

（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，3人9分，5人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由“铅球”科目中成绩为E的学生有10人，频率为0.2，能求出该班有50人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数．
（Ⅱ）设两人成绩之和为X，则X的值可能为：16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX．

解答 解：（Ⅰ）∵“铅球”科目中成绩为E的学生有10人，频率为0.2，
∴该班有：$\frac{10}{0.2}$=50人，
∴该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为：
50（1-0.375-0.375-0.150-0.020）=4，
∴该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数为4人．
（Ⅱ）设两人成绩之和为X，则X的值可能为：16，17，18，19，20，
P（X=16）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=17）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=18）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{13}{45}$，
P（X=19）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴X的分布列为：

X	16	17	18	19	20
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{45}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{45}$

EX=$\frac{10×16+15×17+13×18+6×19+20×1}{45}$=$\frac{87}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求地，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．