Question

6．已知函数$f（x）=[{2sin（{x+\frac{π}{3}}）-sinx}]cosx-\sqrt{3}{sin^2}x$．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB边上的高为1，∠ABC=45°，求a的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换化简，得到f（x）=$\sqrt{3}cos2x$，由周期公式求得周期；
（2）把$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$代入函数解析式，求得A，再利用正弦定理及直角三角形的解法求得AB，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）$f（x）=[{2sin（{x+\frac{π}{3}}）-sinx}]cosx-\sqrt{3}{sin^2}x$
=（2sinxcos$\frac{π}{3}$+2cosxsin$\frac{π}{3}-sinx$）cosx$-\sqrt{3}si{n}^{2}x$
=（sinx+$\sqrt{3}cosx$-sinx）cosx-$\sqrt{3}si{n}^{2}x$=$\sqrt{3}（{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}）=\sqrt{3}cos2x$
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵A∈（0，π），$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\sqrt{3}cos2A=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则cos2A=$\frac{1}{2}$，A=30°．
∵AB边上的高为1，∠ABC=45°，则AC=2，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sin30°}=\frac{2}{sin45°}$，解得$a=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3}+1$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•（{\sqrt{3}+1}）•1=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角形的解法，训练了正弦定理的应用，是中档题．