Question

1．已知函数f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin²（ωx）（ω＞0）关于点（$\frac{π}{12}，1$）对称
（Ⅰ）求m的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，最大内角A的值为f（x）的最小正周期，若b=2，△ABC面积的取值范围为[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]，求角A的值及a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（$\frac{π}{12}$，1）对称，得$\frac{m}{2}=1$，即m=2，从而可得f（x）的最小值；
（Ⅱ）f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}，1$）对称，有$\frac{2ωπ}{12}-θ=kπ（k∈Z）$，求得ω=6k+$\frac{3}{2}$，又A为f（x）的最小正周期，得$A=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}$．结合A为△ABC的最大内角，得$\frac{π}{3}≤A＜π$，即$\frac{π}{3}≤\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}＜π$．求解该不等式求得A=$\frac{2π}{3}$．由△ABC面积的取值范围求得c的范围．再由余弦定理用c表示a，则a的取值范围可求．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin²（ωx）
=sin（2ωx）+$\frac{m}{2}[-cos（2ωx）+1]$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4}}{2}sin（2ωx-θ）+\frac{m}{2}$．
∵f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}，1$）对称，则m=2，
∴f（x）的最小值为$-\frac{\sqrt{{m}^{2}+4}}{2}+\frac{m}{2}=-\sqrt{2}+1$；
（Ⅱ）f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}，1$）对称，有$\frac{2ωπ}{12}-θ=kπ（k∈Z）$，
则ω=6k+$\frac{3}{2}$，又A为f（x）的最小正周期，则$A=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}$．
又A为△ABC的最大内角，则$\frac{π}{3}≤A＜π$，即$\frac{π}{3}≤\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}＜π$．
得$-\frac{1}{12}＜k≤\frac{1}{4}$，故k=0时，此时A=$\frac{2π}{3}$．
∵${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}c∈$[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]，∴1≤c≤2．
又a²=c²+4+2c∈[7，12]，
∴a∈[$\sqrt{7}，2\sqrt{3}$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．