Question

14．设${a_n}={n^2}-2kn+6$（n∈N^*，k∈R）
（1）证明：k≤1是{a_n}为递增数列的充分不必要条件；
（2）若$?n∈{N^*}，\frac{a_n}{n}≥1$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-a_n＞0，解得k＜$\frac{2n+1}{2}$，进而证明．
（2）$?n∈{N^*}，\frac{a_n}{n}≥1$，可得$n+\frac{6}{n}$≥2k+1，利用数列的单调性即可得出．

解答 （1）证明：a_n+1-a_n=（n+1）²-2k（n+1）+6-[n²-2kn+6]=2n+1-2k＞0，解得k＜$\frac{2n+1}{2}$，
∴k＜$\frac{3}{2}$．
∴k≤1是{a_n}为递增数列的充分不必要条件；
（2）解：∵$?n∈{N^*}，\frac{a_n}{n}≥1$，
∴$n+\frac{6}{n}$-2k≥1，即$n+\frac{6}{n}$≥2k+1，
∵$n+\frac{6}{n}$≥5，
∴2k+1≤5，
∴k≤2．
∴k的取值范围是k≤2．

点评 本题考查了数列的单调性、充要条件的判定、恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．