Question

已知x，y∈R⁺，且x+y=1，求证：xy+

1

xy

≥

17

4

．

Answer 1

分析：先根据基本不等式求出xy的范围，再结合整体思想构造一个新函数f（t）=t+

1

t

，利用函数f（t）=t+

1

t

，的单调性即可证明．

解答：解：∵xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，
设xy=t，令f（t）=t+

1

t

，
因其f′（t）=1-

1

t2

，当0＜t≤

1

4

时，f′（t）＜0，
故函数f（t）在（0，

1

4

]上是减函数，
∴t+

1

t

≥

1

4

+4=

17

4

，
从而：xy+

1

xy

≥

17

4

．

点评：本题主要考查了基本不等式、不等式的证明，利用导数研究函数的单调性、，属于中档题．