Question

已知函数f（x）=

ex-ax2

1+x

．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导，根据的导函数与0的关系求出单调区间，
（2）①先求导，f′（0）=0，令g（x）=e^x-a（x+2），再求导，判断根的范围
②利用分析法进行求证，要证：x₁+x₂+x₃＞-2．只要证：x₁+x₂＞-2，只要证ex2-e-2-x2-2a(x2+1)＜0，转化为只要证x2ex2+(x2+2)e-x2-2＞0，
求导，判断增减性，问题得以证明．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=

ex

1+x

，x≠-1，
∴f′(x)=

xex

(1+x)2

，
当f′（x）＜0时，x在（-∞，-1）和（-1，0）上，f（x）单调递减，
当f′（x）＞0时，x在（0，+∞）上，f（x）单调递增，
（2）①∵f（x）=

ex-ax2

1+x

，
∴f′（x）=

x[ex-a(x+2)]

(1+x)2

首先f′（0）=0，令g（x）=e^x-a（x+2），则g（x）=0应有两个既不等于0也不等于-1的根，
求导可得，g′（x）=e^x-a，
此时，g′（x）=e^x-a=0有唯一的根x₀=lna，并且x₀是g（x）的极小值点，
要使g（x）=0有两根，只要g（x₀）＜0即可，（因为当x→+∞和x→-∞时，g（x）=e^x-a（x+2）→+∞）
由g(x0)=e^lna-a（lna+2）=-a（lna+1）＜0，得a＞

1

e

，
又由g（0）≠0，得a≠

1

2

，
反过来，若a＞

1

e

且a≠

1

2

时，则g（-1）=

1

e

-a＜0，g（x）=0的两根中，一个大于-1，另一个小于-1，
于是在定义域中，连同x=0，f′（x）=0共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，f′（x）的正负变号，它们就是f（x）的三个极值点，
综上，a的取值范围是(

1

e

，

1

2

)∪(

1

2

，+∞)；
②证明由①可知f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃中，两个是g（x）=0的两根（不妨设为x₁，x₂，其中x₁＜-1＜x₂），另一个为 x₃=0，
要证：x₁+x₂+x₃＞-2．
只要证：x₁+x₂＞-2，
即只要证明x₁＞-x₂-2，
因为g（x）在（-∞，lna）上单调递减，其中lna＞-1，
故只要证g（x₁）＜g（-2-x₂），其中g（x₁）=g（x₂）=0，
只要证g（x₂）＜g（-2-x₂），
而ex2-a(x2+2)＜e-2-x2-a[(-2-x2+2]
只要证ex2-e-2-x2-2a(x2+1)＜0，
由g（x₂）=ex2-a(x2+2)=0，得a=

ex2

x2+2

，由此代入上述不等式，只要证明ex2-e-2-x2-

2ex2

x2+2

(x2+1)＜0，
只要证x2ex2+(x2+2)e-x2-2＞0，
令h（x）=xe^x+（x+2）e^-x-2，
当x＞-1时，h′（x）=（x+1）e^x-（x+1）e^-x-2=（x+1）（e^x-e^-x-2）＞0，h（x）单调递增，而h（-1）=0，
所以当x＞-1时，h（x）＞0，
于是证x2ex2+(x2+2)e-x2-2＞0，
即：x₁+x₂+x₃＞-2．

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性和极值的关系，以及利用分析法证明，同时考查了运算能力，分析问题的能力，属于难题．