Question

13．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2ax+4a（a是实数）
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，从而由偶函数求解析式；
（2）以△的正负讨论方程的根的个数，再结合函数的性质判断函数的零点的个数．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
则f（x）=f（-x）=（-x）²-2a（-x）+4a
=x²+2ax+4a；
（2）①当△=4a²-16a=4a（a-4）＜0，
即0＜a＜4时，
方程x²-2ax+4a=0无解，
结合函数的奇偶性知，
函数y=f（x）没有零点；
②当△=0，即a=0或a=4时，
当a=0时，代入可求得函数y=f（x）只有一个零点0，
当a=4时，代入可求得函数y=f（x）有两个零点4，-4；
③当△＞0，即a＜0或a＞4时，
当a＜0时，方程x²-2ax+4a=0有一正一负两个根，
故函数y=f（x）在[0，+∞）上有一个零点，
由偶函数知，函数y=f（x）在（-∞，0）上有一个零点，
故函数y=f（x）有两个零点；
当a＞4时，方程x²-2ax+4a=0有两个正根，
故函数y=f（x）在[0，+∞）上有两个零点，
由偶函数知，函数y=f（x）在（-∞，0）上有两个零点，
故函数y=f（x）有4个零点；
综上所述，
①当0＜a＜4时，函数y=f（x）没有零点；
②当a=0时，函数y=f（x）只有一个零点；
③当a=4或a＜0时，函数y=f（x）有两个零点；
④当a＞4时，函数y=f（x）有4个零点．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及函数的奇偶性的应用．