Question

20．若x＞1，则函数y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$的最小值为3．

Answer 1

分析 换元可得t=x-1＞0，可得x=t+1，代入可得y=t+$\frac{1}{t}$+1，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞1，∴t=x-1＞0，解得x=t+1，
∴y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}-（t+1）+1}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+t+1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+1≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+1=3，
当且仅当t=$\frac{1}{t}$即t=1即x=2时取等号．
故答案为：3．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体换元是解决问题的关键，属基础题．