题目内容
9．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+2a2=a3+2a4-1，则a5+2a6的最小值为4．分析 设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q＞0，由于a1+2a2=a3+2a4-1，可得a1（1+2q）（q2-1）=1，可得q＞1．则a5+2a6=${a}_{1}{q}^{4}$（1+2q）=$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$，变形利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1+2a2=a3+2a4-1，
∴a1+2a1q=${a}_{1}{q}^{2}$+2a1q3-1，
∴a1（1+2q）（q2-1）=1，可得q＞1．
则a5+2a6=${a}_{1}{q}^{4}$（1+2q）=$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{{q}^{4}-1+1}{{q}^{2}-1}$=q2-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2≥$2\sqrt{（{q}^{2}-1）•\frac{1}{{q}^{2}-1}}$+2=4，当且仅当q=$\sqrt{2}$时取等号．
∴a5+2a6的最小值为4．
故答案为：4．
点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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19．下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（ ）
| A． | $f（x）=x，g（x）=\sqrt{x^2}$ | B． | $f（x）=x，g（x）=\root{3}{x^3}$ | ||
| C． | f（x）=x，g（x）=（x-1）0 | D． | $f（x）=\frac{{{x^2}-9}}{x+3}，g（x）=x-3$ |
1．设a＞-b，则下列不等式中，成立的是（ ）
| A． | a（a+b）2＜-b（a+b）2 | B． | a（a+b）2＞-b（a+b）2 | C． | a（a+b）2≤-b（a+b）2 | D． | a（a+b）2≥-b（a+b）2 |