Question

（2008•闸北区一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（Ⅰ）若c=2，C=

π

3

，且△ABC的面积S=

3

，求a，b的值；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=sin2A，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据余弦定理，得c²=a²+b²-ab=4，再由面积正弦定理得

1

2

absinC=

3

，两式联解可得到a，b的值；
（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理 及已知条件得，a²+b²-ab=4，…．（3分）
又因为△ABC的面积等于

3

，所以

1

2

absinC=

3

，得ab=4．（5分）
联立方程组

a2+b2-ab=4 ab=4

解得a=2，b=2．（7分）
（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B-A）=sin2A
得到sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A=2sinAcoA
即：sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=2sinAcoA
所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分）
当cosA=0时，A=

π

2

，△ABC为直角三角形（12分）
当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，
所以，△ABC为等腰三角形．（14分）

点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．熟练掌握三角函数的有关公式，是解好本题的关键．