Question

（2008•闸北区一模）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证PA⊥平面ABCD，只需证明PA垂直平面ABCD上的两条相交直线，再根据平面PAD⊥平面ABCD，则再平面PAD上作交线AD的垂线，一定垂直平面ABCD，由，∠PAD=90°，问题得证．
（Ⅱ）欲求EF和平面ABCD所成的角的大小，即求直线EF与它在平面ABCD内的射影所成角的大小，由已知找到直线EF在平面ABCD内的射影，再把角放入三角形中通过解三角形，解出此角即可．
（Ⅲ）欲求异面直线EF与BD所成的角的大小，只需平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成的锐角或直角，就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形，求出此角．

解答：解（Ⅰ）证明：由已知PA⊥AD，AB⊥AD，
所以∠PAB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，
由已知：平面PAD⊥平面ABCD，得PA⊥AB
又AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，且AB与AD相交
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α，
在△AFE中，可求得α=arctan

5

5

（Ⅲ）取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，
∴∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角．
可求得EM=

EA2+AM2

=

6

，同理EF=

6

，又FM=

1

2

BD=

2

，
∴在△MFE中，cos∠EFM=

EF2+FM2-ME2

2EF•FM

=

3

6

，
故异面直线EF与BD所成角为arccos

3

6

．

点评：本题主要考查了立体几何中，线面垂直的证明，以及线面角，异面直线所成角的求法，属于立体几何中的常规题．