Question

12．已知：
1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞2
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$＞$\frac{5}{2}$
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{16}$＞3
…
以此类推，写出一般的结论并加以证明．

Answer 1

分析 由归纳猜想可知1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{2+n}{2}$，从而利用数学归纳法证明．

解答 解：由归纳法可知，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{2+n}{2}$，
证明如下，
当n=1，2，3，4时，上式显然成立；
假设当n=k，（k∈N^*）时成立，
即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥1+$\frac{k}{2}$，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
=1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{2+k+1}{2}$；
故n=k+1时也成立；
故1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{2+n}{2}$成立．

点评 本题考查了归纳法的应用分类讨论的思想应用．