Question

【题目】如图,五边形中,四边形为长方形,为边长为的正三角形,将沿折起,使得点在平面上的射影恰好在上.

（Ⅰ）当时,证明:平面平面；

（Ⅱ）若,求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】

试题

（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，则，平面，，结合勾股定理可得，则平面，平面平面.

（Ⅱ）由几何关系，以为轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面的法向量，平面的法向量.计算可得平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.

试题解析：

（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，，

又，平面，

利用勾股定理得，同理可得.

在中，

平面，又平面，

所以平面平面

（Ⅱ）连结，，，

，又四边形为长方形，.

取中点为，得∥，连结，

其中，，

由以上证明可知互相垂直，不妨以为轴建立空间直角坐标系.，

，

设是平面的法向量，

则有即，

令得

设是平面的法向量，

则有即

令得.

则

所以平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.