Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在时取得极值，求实数的值；

（Ⅱ）当时，求零点的个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）两个.

【解析】

（Ⅰ），由，解得，检验时取得极小值即可；（II）令，由，得，讨论单调性得在时取得极小值，并证明极小值为.再由零点存在定理说明函数在和上各有一个零点，即可解得

（I）定义域为.

.

由已知，得，解得.

当时，.

所以.

所以减区间为，增区间为.

所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意

所以.

（II）令，由，得.

所以.

所以减区间为，增区间为.

所以函数在时取得极小值，其极小值为.

因为，所以.

所以.所以.

因为，

又因为，所以.

所以.

根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.

因为，.

令，得.

又因为，所以.

所以当时，.

根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点.

所以，当时，有两个零点.