Question

【题目】设定义在上的函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）定义:如果实数满足， 那么称比更接近.对于（2）中的及，问:和哪个更接近？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，减区间为；（2）；（3）比更接近.

【解析】

（1）对函数求导，根据的取值范围，分类讨论函数的单调性；

（2）存在，使得成立，即成立.根据（1）的分类情况进行讨论分析，最后求出实数的取值范围；

（3）构造函数：，，分别求导，求出函数的单调区间，根据单调区间进行分类讨论：，判断函数的正负性，从而判断出和哪个更接近.

（1）

当时，，在R上为增函数；

当时，由，得，即

，由，得.

∴函数的单调增区间为，减区间为；

（2）存在，使得成立，即成立.

由（1）知，当时，在上为增函数，则，

不满足成立,

当时，若，则在上为增函数，则，

不满足成立,

若，即，则在上单调递减，在上单调递增，

.

∴实数a的取值范围是；

（3）令，

，在上单调递减，

故当时，，当时，；

，，在上单调递增，

故，则在上单调递增，.

①当，令

.

，故在上单调递减，

，即

，

∴比更接近；

②当时，令

，

，故

在上单调递减，

，即，

∴比更接近.

综上，当及时，比更接近.