Question

【题目】设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；

（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：为定值（其中O为坐标原点）.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）4.

【解析】

（1）由圆心为，为双曲线的左顶点，解得，得到双曲线C的方程.

（2）设，利用数量积运算得到，再利用二次函数的性质求解.

（3）设，得到直线PA的方程为：，令，得，同理，然后代入求解.

（1）因为圆的圆心为，且为左顶点，

所以，

所以双曲线C的方程.

（2）设，

因为点A在双曲线上，

所以，

所以，

所以当，取得最小值，

此时，又点A在圆上，所以，

所以圆D的方程.

（3）设，则直线PA的方程为：，

令，得，同理，

又点A，P在双曲线上，

所以，

所以，

所以为定值.