题目内容
【题目】已知双曲线
，经过点
的直线
与该双曲线交于
两点.
（1）若与
轴垂直，且
，求
的值；
（2）若
，且的横坐标之和为
，证明：
.
（3）设直线与
轴交于点
，求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【解析】
（1）把
代入双曲线方程求得
坐标，由
可求得
；
（2）设
，设直线方程为
，代入双曲线方程应用韦达定理得
，由
可求得
，再由数量积的坐标运算计算出
可得结论；
（3）设方程为，且
，由
可用
表示出
，代入双曲线方程得
，同理
.故
是方程
的两根.由韦达定理可得结论．
（1）
，
，
，
∴
.
（2）
，设，显然直线斜率存在，设方程为，并与
联立得
，由得
，此时
.
.
（3）有题意可知直线
斜率必存在，设方程为，且.由
得
，所以
，
，又由于点
在双曲线上，故
化简得，同理.故是方程的两根.则
为定值.
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