Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=1，S₄=-3，a_n+3=2a_n（n∈N^*），则S₂₀₁₇=-1．

Answer 1

分析 S₃=1，S₄=-3，a_n+3=2a_n（n∈N^*），可得a_n+3+a_n+4+a_n+5=2（a_n+a_n+1+a_n+2），前三项的和为1，第四至第六项的和为2，再下边三项和为4，依次下去，这样三项和构成等比数列，…即可得出S₂₀₁₆．又a₄=2a₁，1+2a₁=-3，解得a₁=-2．可得a₂₀₁₇=a_672×3+1=2⁶⁷¹a₁=-2⁶⁷²．即可得出．

解答 解：∵S₃=1，S₄=-3，a_n+3=2a_n（n∈N^*），
∴a_n+3+a_n+4+a_n+5=2（a_n+a_n+1+a_n+2），
又a₄=2a₁，∴1+2a₁=-3，解得a₁=-2．
a₂₀₁₇=a_672×3+1=2⁶⁷¹a₁=-2⁶⁷²．
∴前三项的和为1，第四至第六项的和为2，再下边三项和为4，依次下去，这样三项和构成等比数列，…
∴S₂₀₁₇=$\frac{{2}^{672}-1}{2-1}$-2⁶⁷²=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．