Question

4．在斜三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=A′A=A′C=$\sqrt{2}$，A′在底面ABC上的射影为AB的中点D，E为线段BC的中点．
（1）证明：平面A′DE⊥平面BCC′B′；
（2）求三棱锥D-B′BE的体积．

Answer 1

分析 （1）连结CD，通过△A′AD≌△A′CD得出AD=CD=BD，再利用等边对等角和三角形的内角和定理得出AC⊥BC，结合BC⊥A′D得出BC⊥平面A′DE，故而平面A′DE⊥平面BCC′B′；
（2）求出A′D和S_△BDE，则V_D-B′BE=V_B′-BDE=V_A′-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•A′D$．

解答 （1）证明：连结CD，则A′D⊥AD，A′D⊥CD，
又AA′=A′C，∴△A′AD≌△A′CD，
∴AD=CD，
又AD=BD，∴CD=BD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，
∵∠DAC+∠DCA+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，即AC⊥BC，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴DE⊥BC，
又A′D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A′D⊥BC，
又A′D∩DE=D，A′D?平面A′DE，DE?平面A′DE，
∴BC⊥平面A′DE，又BC?平面B′C′CB．
∴平面A′DE⊥平面BCC′B′．
（2）解：由（I）知AC⊥BC，
∴AB=2，AD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴A′D=$\sqrt{AA{′}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
又DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BE=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DE⊥BC，
∴V_D-B′BE=V_B′-BDE=V_A′-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•A′D$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，利用平面几何证明AC⊥BC是关键，属于中档题．