Question

若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a²，1，c²成等比数列，则

lim

n→∞

(

a+c

a2+c2

)n的值为

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a，c的值，然后代入数列极限求得答案．

解答： 解：∵a，1，c成等差数列，
∴a+c=2  ①
又a²，1，c²成等比数列，
∴a²c²=1  ②
联立①②得：

a=1 c=1

 或

a=1+ 2 c=1- 2

 或

a=1- 2 c=1+ 2

，
∵a≠c，
∴

a=1+ 2 c=1- 2

 或

a=1- 2 c=1+ 2

，
则a+c=2，a2+c2=(1+

2

)2+(1-

2

)2=6．
∴

lim

n→∞

(

a+c

a2+c2

)n=

lim

n→∞

(

2

6

)n=

lim

n→∞

(

1

3

)n=0．
故答案为：0．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．