Question

20．与圆C₁：x²+y²-2x-2y+1=0和直线l：y+1=0都相切的圆的圆心轨迹方程是$（x-1）^{2}=6（y+\frac{1}{2}）$和$（x-1）^{2}=2（y-\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 由已知圆的方程求出定圆的圆心坐标和半径，分动圆和定圆外切、内切两种情况讨论，再分别利用两圆圆心距和半径的关系列式求解．

解答 解：由圆C₁：x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心C₁（1，1），半径等于1．
设动圆圆心为P（x，y），
当动圆与圆x²+y²-2x-2y+1=0外切时，如图，
则$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}=|y+1|+1$，
整理得：$（x-1）^{2}=6（y+\frac{1}{2}）$；
当动圆与圆x²+y²-2x-2y+1=0内切时，如图，
$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}=|y+1|-1$，
整理得：$（x-1）^{2}=2（y-\frac{1}{2}）$．
故答案为：$（x-1）^{2}=6（y+\frac{1}{2}）$和$（x-1）^{2}=2（y-\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了轨迹方程，考查了两圆间的位置关系，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．