Question

已知椭圆的离心率为，且经过点． 过它的两个焦点，分别作直线与，交椭圆于A、B两点，交椭圆于C、D两点，且．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形的面积的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）由离心率为可知，所以，再将点P的坐标代入椭圆方程得，故所求椭圆方程为 ；
（2）与垂直，可分为两种情况讨论：一是当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0；二是若与的斜率都存在；
当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为；
若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．直线的方程为，
设，，联立，消去整理得，
（1），，
，
（2），注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用代替（2）中的，
得 ，
，利用换元法，再利用对构函数可以求出最值，令，， ，综上可知，四边形面积的.
试题解析：（1）由，所以，         2分
将点P的坐标代入椭圆方程得，                            4分
故所求椭圆方程为                                   5分
（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，
此时四边形的面积为，                         7分
若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．直线的方程为，
设，，联立，
消去整理得，  （1）
，，                8分
，（2）       9分
注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用代替（2）中的，
得 ，      10分
，令，
， ，综上可知，四边形面积的.            13分