Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2，∠ABC=．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB=2，AC=AA₁=2，∠ABC=，解三角形可得AB⊥AC，故可以以A为原点，分别以AB、AC、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出AB与A₁C的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到AB⊥A₁C；
（2）结合（1）的结论，分别求出平面AA₁C与平面A₁CB的法向量，代入向量夹角公式，即可出二面角A-A₁C-B的正弦值．
解答：解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得
∴AB⊥AC
以A为原点，分别以AB、AC、AA₁为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图
则A（0，0，0）B（2，0，0）
即AB⊥A₁C．
（2）由（1）知
设二面角A-A₁C-B的平面角为α，=
∴
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，用向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中向量法是解答和证明立体几何平行、垂直关系及夹角常用的方法，建立适当的坐标系，求出相应直线的方向向量及平面的法向量是解答的关键．