Question

【题目】已知椭圆 的右顶点，离心率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】

（1）由椭圆右顶点求出，由离心率求出，再由求出，从而求出椭圆方程；（2）先考虑AP斜率不存在，再考虑斜率存在时，设出AP方程，联立椭圆方程，解出点P坐标，然后求出AP长度，同理求出DE长度，从而求出比值，用换元法结合单调性求出其范围.

解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以.

又，所以.

所以.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短轴，

则，所以.

当直线的斜率不为0时，

设直线的方程为，，

则直线DE的方程为.

由

得.

所以

所以

所以..

同理可求.

所以

设则，.

令，

则.

所以是一个增函数.

所以.

综上：的取值范围为.