Question

【题目】

已知双曲线设过点的直线l的方向向量

（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；

（2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

Answer 1

【答案】（1），（2）见解析

【解析】

⑴中知道双曲线的方程可以求出渐近线方程，因为直线l和渐近线平行，所以可以确定l的方程，直线l与m方程确定，可以利用两条平行线间的距离公式求出距离.⑵是一个存在性问题，可以寻找参考对象，也可用反证法.

（1）双曲线C的渐近线，即…… 2分

直线的方程…… 6分

直线与m的距离…… 8分

（2）设过原点且平行于的直线

则直线与的距离，

当时，. …… 12分

又双曲线C的渐近线为，

双曲线C的右支在直线的右下方，

双曲线C的右支上的任意点到直线的距离大于.

故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为…… 16分

假设双曲线C右支上存在点Q到到直线的距离为，

则， （1）由（1）得， …… 11分

设

当时，：

…… 13分

将代入（2）得，

，

故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为…… 16分