Question

【题目】已知

（I）求函数的极值；

（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）时，没有极值，时有极小值；（II）或.

【解析】

（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.

（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得

，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.

（I）,

当 ， ，在上是增函数，

所以，函数没有极值.

（2）若，

所以在是减函数，在是增函数

所以在取极小值，极小值为

（II）仅有一个实数解,即有唯一零点.

当，，此时在R上递增，

因为，

所以在递减；在递增，

，当x=0取等号，

所以满足题意；

当时，

所以在递减，上递增；

令

此时当上，递增；当上，递减；

当且紧当取等号，

所以（1）当，，且

因为（利用：当时， ），所以

由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）

于是，当递增；当递减；当递增；

于是

且当

由零点存在性定理：必然存在一个使得

此时，存在两个零点，可见不满足题意；

（2）当时，，且

此时，且（这里利用 ）

由零点存在性定理：必然存在唯一，使得=0

此时在递增；在递减；

在递增

可见，

且当

由零点存在性定理：必然存在唯一一个，使得

此时，存在两个零点，可见不满足题意；

（3）当时，则

此时在R上递增，且，

所以此时有唯一一个零点

所以满足题意

综上，a的取值范围为