Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=$\sqrt{2}$，b=1，f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，求得cosA的值，可得sinA的值，再利用正弦定理求得sinB的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，得sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{3}$，则 cosA=$\frac{1}{3}$，
在△ABC中，sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．         
又因为a=$\sqrt{2}$，b=1，由正弦定理可得sinB=$\frac{b}{a}$sinA=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，属于中档题．