Question

14．已知集合A={x|log₂（4x）•log₂x≤0}
（1）求集合A；
（2）求函数y=4^2x+1+4^x（x∈A）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数的运算法则把原不等式化为关于log₂x的二次不等式，求出log₂x的范围，利用对数函数的单调性再求出x的取值范围；
（2）令4^x=t，则将原函数化为二次函数，利用二次函数的对称轴判断函数的单调性，求出它的最大值．

解答 解：（1）∵log₂（4x）•log₂x≤0，
∴（2+log₂x）•log₂x≤0，
解得-2≤log₂x≤0，
即$\frac{1}{4}$≤x≤1，
∴A={x|$\frac{1}{4}$≤x≤1}；
（2）设4^x=t，则t∈[$\sqrt{2}$，4]，
∴函数y=g（t）=4t²+t，且它的对称轴为t=-$\frac{1}{8}$，
∴函数g（t）在[$\sqrt{2}$，4]上是单调增函数，
其最大值为y_max=g（4）=68．

点评 本题考查一元二次不等式的解法以及二次函数最值的求法，也考查了利用对数函数的单调性求不等式的解集以及换元法的应用问题，是综合性题目．