Question

9．求f（x）=a•2^x-4^x（a∈R）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 设2^x=t（1≤t≤2），即有g（t）=at-t²，求出对称轴方程，讨论区间[1，2]和对称轴的关系，运用单调性可得最大值．

解答 解：设2^x=t（1≤t≤2），
即有g（t）=at-t²，
对称轴为t=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$≥2时，即a≥4，区间[1，2]递增，
可得t=2即x=1时，取得最大值2a-4；
当1＜$\frac{a}{2}$＜2时，即2＜a＜4时，t=$\frac{a}{2}$时，即x=log₂$\frac{a}{2}$，取得最大值$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当$\frac{a}{2}$≤1时，即a≤2，区间[1，2]递减，
可得t=1即x=0时，取得最大值a-1．
综上可得，a≤2时，f（x）的最大值为a-1；
2＜a＜4时，f（x）的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$；
a≥4时，f（x）的最大值为2a-4．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．